Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點D．點P從點D出發，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到點C時，兩點都停止．設運動時間為t秒．
（1）求線段CD的長；
（2）當t取何值時PQ∥AB？
（3）是否存在某一時刻t，使得△PCQ為等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據勾股定理求出AB的長，再由三角形的面積公式即可得出結論；
（2）先用t表示出DP，CQ，CP的長，再根據PQ∥AB，得到△QCP∽△ABC，根據相似三角形的性質列方程即可得到結論；
（3）根據題意畫出圖形，分CQ=CP，PQ=PC，QC=QP三種情況進行討論．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵CD⊥AB，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$AB•CD．
∴CD=$\frac{BC•AC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=4.8．
∴線段CD的長為4.8．

（2）設DP=t，CQ=t．則CP=4.8-t．
∵PQ∥AB，
∵△QCP∽△ABC
∴$\frac{CQ}{AB}=\frac{CP}{BC}$，即$\frac{t}{10}=\frac{4.8-t}{6}$，
∴t=3，
當t=3時，PQ∥AB；

（3）①若CQ=CP，如圖1，
則t=4.8-t．
解得：t=2.4．
②若PQ=PC，如圖2所示．
∵PQ=PC，PH⊥QC，
∴QH=CH=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{t}{2}$．
∵△CHP∽△BCA．
∴$\frac{CH}{BC}=\frac{CP}{AB}$，
∴$\frac{\frac{t}{2}}{6}$=$\frac{4.8-t}{10}$，解得t=$\frac{144}{55}$；
③若QC=QP，
過點Q作QE⊥CP，垂足為E，如圖3所示．
同理可得：t=$\frac{24}{11}$．
綜上所述：當t為2.4秒或$\frac{144}{55}$秒或$\frac{24}{11}$秒時，△CPQ為等腰三角形．

點評 本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定和性質，三角形的面積的計算，在解答此題時要注意進行分類討論．