Question

閱讀下面材料：

（1）小喬遇到了這樣一個問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為CB，CA邊上的點(diǎn)，且AE=BC，BD=CE，BE與AD的交點(diǎn)為P，求∠APE的度數(shù)；

小喬發(fā)現(xiàn)題目中的條件分散，想通過平移變換將分散條件集中，如圖2，過點(diǎn)B作BF//AD且BF=AD，連接EF，AF，從而構(gòu)造出△AEF與△CBE全等，經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖2）．請回答：∠APE的度數(shù)為___________________．

參考小喬同學(xué)思考問題的方法，解決問題：

（2）如圖3，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，D、E分別為CB，CA上的點(diǎn)，且AE=BC，BD=CE，BE與AD交于點(diǎn)P，在圖3中畫出符合題意的圖形，并求出sin∠APE的值．

Answer 1

（1）45°；（2）．

【解析】

試題分析：（1）證明△AEF≌△CBE，得到△EFB是等腰直角三角形，得到∠APE=∠EBF=45°；

（2）過點(diǎn)B作FB//AD且FB=AD，連結(jié)EF和AF，得到AFBD是平行四邊形，∠APE=∠FBE，AF=DB，由△AEF∽△CBE，得到，∠1=∠3，再證明∠FEB=90°，在Rt△BEF中，由tan∠FBE=和∠APE=∠FBE，得到sin∠APE的值．

試題解析：(1) ∠APE=45°；

(2) 過點(diǎn)B作FB//AD且FB=AD，連結(jié)EF和AF，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∠APE=∠FBE，AF=DB，∵AB是⊙O直徑，∴∠C=90°，∴∠FAE=∠BCE=90°，∵CE=2BD，BC=2AE，∴CE=2AF，∴，∴△AEF∽△CBE，∴，∠1=∠3，又∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°，即∠FEB=90°，在Rt△BEF中，∠FEB=90°∴tan∠FBE=，又∵∠APE=∠FBE，∴sin∠APE=．

考點(diǎn)：圓的綜合題．