如圖1,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,把矩形沿直線AC折疊,使點B落在點E處,AE交CD于點F,連接DE.
(1)求證:△DEC≌△EDA;
(2)求DF的值;
(3)如圖2,若P為線段EC上一動點,過點P作△AEC的內接矩形,使其定點Q落在線段AE上,定點M、N落在線段AC上,當線段PE的長為何值時,矩形PQMN的面積最大?并求出其最大值.
(1)證明:由矩形的性質可知△ADC≌△CEA,
∴AD=CE,DC=EA,∠ACD=∠CAE,
在△ADE與△CED中
∴△DEC≌△EDA(SSS);
(2)解:如圖1,∵∠ACD=∠CAE,
∴AF=CF,
設DF=x,則AF=CF=4﹣x,
在RT△ADF中,AD2+DF2=AF2,
即32+x2=(4﹣x)2,
解得;x=,
即DF=.
(3)解:如圖2,由矩形PQMN的性質得PQ∥CA
∴
又∵CE=3,AC==5
設PE=x(0<x<3),則,即PQ=
過E作EG⊥AC 于G,則PN∥EG,
∴=
又∵在Rt△AEC中,EG•AC=AE•CE,解得EG=
∴=
,即PN=
(3﹣x)
設矩形PQMN的面積為S
則S=PQ•PN=﹣x2+4x=﹣
+3(0<x<3)
所以當x=,即PE=
時,矩形PQMN的面積最大,最大面積為3.
科目:初中數學 來源: 題型:
君暢中學計劃購買一些文具送給學生,為此學校決定圍繞“在筆袋、圓規、直尺、鋼筆四種文具中,你最需要的文具是什么?(必選且只選一種)”的問題,在全校滿園內隨機抽取部分學生進行問卷調查,將調查結果整理后繪制成如圖所示的不完整的統計圖,請你根據以上信息回答下列問題:
(1)在這次調查中,最需要圓規的學生有多少名?并補全條形統計圖;
(2)如果全校有970名學生,請你估計全校學生中最需要鋼筆的學生有多少名?
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科目:初中數學 來源: 題型:
如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上一點,OQ⊥BC于點Q,過點B作半圓O的切線,交OQ的延長線于點P,PA交半圓O于R,則下列等式中正確的是( )
A. =
B.
=
C.
=
D.
=
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