Question

（本題滿分10分）類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到，如下是一個案例，請補充完整.

原題：如圖1，在□ABCD中，點E是BC邊上的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G，若，求的值．

（1）嘗試探究

在圖1中，過點E作EH∥AB交BG于點H，則AB和EH的數量關系是 ，CG和EH的數量關系是 ，的值是 .

（2）類比延伸

如圖2，在原題的條件下，若則的值是 （用含的代數式表示），試寫出解答過程．

（3）拓展遷移

如圖3，梯形ABCD中，DC∥AB，點E是BC延長線上一點，AE和BD相交于點F，若，則的值是 （用a，b含的代數式表示）.

 

Answer 1

（1）AB=3EH；CG=2EH；；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）本問體現“特殊”的情形，是一個確定的數值．如答圖1，過E點作平行線，構造相似三角形，利用相似三角形和中位線的性質，分別將各相關線段均統一用EH來表示，最后求得比值；

（2）本問體現“一般”的情形，不再是一個確定的數值，但（1）問中的解題方法依然適用，如答圖2所示．

（3）本問體現“類比”與“轉化”的情形，將（1）（2）問中的解題方法推廣轉化到梯形中，如答圖3所示．

試題解析：（1）依題意，過點E作EH∥AB交BG于點H，如右圖1所示．

則有△ABF∽△EHF，∴，∴AB=3EH．

∵?ABCD，EH∥AB，∴EH∥CD，

又∵E為BC中點，∴EH為△BCG的中位線，∴CG=2EH．，

故答案為：AB=3EH；CG=2EH；；

（2）如右圖2所示，作EH∥AB交BG于點H，則△EFH∽△AFB．

∴=m，∴AB=mEH．

∵AB=CD，∴CD=mEH，∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．

∴=2，∴CG=2EH，∴．

故答案為：；

（3）如右圖3所示，過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H，則有EH∥AB∥CD．

∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，∴=b，∴CD=bEH．

又，∴AB=aCD=abEH．

∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，∴，

故答案為：．

考點：1．相似形綜合題；2．平行四邊形的性質；3．梯形；4．相似三角形的判定與性質．