Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，AB=AO，∠ABO=30°，直線MN經(jīng)過原點(diǎn)O，點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A₁在x軸的正半軸上．
（1）求點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)B₁的橫坐標(biāo)；
（2）求證：AB+BO=AB₁．

Answer 1

分析 （1）過A作AC⊥x軸于C，過B作BD⊥x軸于D，根據(jù)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1求出AO=2，OC=2$\sqrt{3}$，BO=4$\sqrt{3}$=OB₁，根據(jù)∠B₁DO=90°和∠DOB₁=30°求出OD即可；
（2）根據(jù)軸對稱得出線段AB₁線段A₁B關(guān)于直線MN對稱，求出AB₁=A₁B，根據(jù)A₁B=A₁O+BO和A₁O=AO推出即可．

解答 解：（1）如圖，過A作AC⊥x軸于C，過B₁作BD⊥x軸于D，

∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2，
∴AC=2，
∵AB=AO，∠ABO=30°，
∴AO=2，OC=2$\sqrt{3}$，BO=4$\sqrt{3}$=OB₁，
∵∠B₁DO=90°，∠DOB₁=30°，
∴B₁D=$\sqrt{3}$，OD=2$\sqrt{3}$B₁D=6，
∴點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)B₁的橫坐標(biāo)3；
（2）∵A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A₁在x軸的正半軸上，點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)為B₁，
∴線段AB₁線段A₁B關(guān)于直線MN對稱，
∴AB₁=A₁B，
而A₁B=A₁O+BO，A₁O=AO，
∴AB₁=AO+BO．

點(diǎn)評 本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線．