Question

17．已知關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x²-（m+3）x+2=0．
（1）證明：不論m為何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）m為何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根．

Answer 1

分析 （1）求出方程根的判別式，利用配方法進(jìn)行變形，根據(jù)平方的非負(fù)性證明即可；
（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的兩個(gè)根，根據(jù)題意求出m的值．

解答 （1）證明：△=（m+3）²-8（m+1）
=m²-2m+1
=（m-1）²，
∵不論m為何值時(shí)，（m-1）²≥0，
∴△≥0，
∴方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）解：解方程得，x=$\frac{（m+3）±（m-1）}{2（m+1）}$，
x₁=1，x₂=$\frac{2}{m+1}$，
∵方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，m為整數(shù)，
∴m=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一元二次方程根的判別式和求根公式的應(yīng)用，掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．