Question

三個等圓O₁，O₂，O₃有公共點H，點A、B、C是其他交點，則H是三角形ABC的（　　）

• A、外心
• B、內心
• C、垂心
• D、重心

Answer 1

考點：三角形的五心

專題：計算題

分析：延長AE交BC于E點，延長CH交AB于F點，根據兩等圓相交所得的對應弧相等得到∠1所對的弧BH與∠4所對的弧BH為等弧；∠2所對的弧BH與∠5所對的弧BH為等弧；∠3所對的弧BH與∠6所對的弧BH為等弧，根據圓周角定理得∠1=∠4，∠2=∠5，∠3=∠6，再利用三角形內角和定理得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°，則∠2+∠3+∠4=90°，∠1+∠3+∠2=90°，于是AE⊥BC，CF⊥AB，然后根據垂心的定義進行判斷．

解答：解：延長AH交BC于E點，延長CH交AB于F點，如圖，
∵三個等圓O₁，O₂，O₃有公共點H，
∴∠1所對的弧BH與∠4所對的弧BH為等弧；∠2所對的弧CH與∠5所對的弧CH為同弧；∠3所對的弧AH與∠6所對的弧AH為同弧，
∴∠1=∠4，∠2=∠5，∠3=∠6，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°，
∴2∠2+2∠3+2∠4=180°，2∠1+2∠3+2∠2=180°，
∴∠2+∠3+∠4=90°，∠1+∠3+∠2=90°，
∴AE⊥BC，CF⊥AB，
∴點H為△ABC的垂心．
故選C．

點評：本題考查了三角形的五心：三角形的內心、外心、重心、垂心和旁心．也考查了相交兩圓的性質、圓周角定理以及三角形內角和定理．