Question

10．如圖，在平面直角坐標系中，經過點P（0，2）的直線y=kx+b與二次函數y=$\frac{1}{4}$x²+1的圖象相交于A、B兩點（點A在點B的左側）．
（1）若點A的坐標是（-1，$\frac{5}{4}$）
①求一次函數y=kx+b的表達式及點B的坐標；
②以點A為圓心，AP長為半徑畫圓，試判斷⊙A與x軸的位置關系，并說明理由；
（2）若k為不等于零的任意值
①以點A為圓心，AP長為半徑畫圖，試判斷⊙A與x軸的位置關系，并說明理由；
②以AB為直徑畫⊙C，試判斷⊙C與x軸的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）①先確定出b的值，再將點A坐標代入即可得出直線解析式，聯立拋物線解析式即可確定出B的坐標；
②先確定出點A，B坐標即可得出AP，進而判定AP與點A的坐標的關系即可；
（2）①先確定出點A，B坐標即可得出AP，進而判定AP與點A的坐標的關系即可；
②先確定出點A，B坐標即可得出$\frac{1}{2}$AB，進而判定AB與點A的坐標的關系即可．

解答 解（1）①∵點P（0，2）在直線y=kx+b上，
∴b=2，
∵點A（-1，$\frac{5}{4}$）在直線y=kx+2上，
∴-k+2=$\frac{5}{4}$，
∴k=$\frac{3}{4}$，
∴一次函數y=kx+b的表達式為y=$\frac{3}{4}$x+2，
∵直線y=$\frac{3}{4}$x+2①和拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+1②的圖象相交于A、B兩點，
∴聯立①②解得，B（4，5），
②⊙A與x軸相切，理由：
∵A（-1，$\frac{5}{4}$），P（0，2），
∴AP=$\frac{5}{4}$=y_A，
∴⊙A與x軸相切，
（2）①⊙A與x軸相切，
理由：∵由（1）知，直線AB的解析式為y=kx+2③，
∵直線AB與二次函數y=$\frac{1}{4}$x²+1④的圖象相交于A、B兩點，
∴聯立③④得，$\left\{\begin{array}{l}{x=2k+2\sqrt{{k}^{2}+1}}\\{y=2{k}^{2}+2k\sqrt{{k}^{2}+1}+2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2k-2\sqrt{{k}^{2}+1}}\\{y=2{k}^{2}-2k\sqrt{{k}^{2}+1}+2}\end{array}\right.$
∵點A在點B的左側，
∴A（2k-2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，2k²-2k$\sqrt{{k}^{2}+1}$+2），B（2k+2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，2k²+2k$\sqrt{{k}^{2}+1}$+2），
∵P（0，2），
∴AP²=（2k-2$\sqrt{{k}^{2}+1}$）²+（2k²-2k$\sqrt{{k}^{2}+1}$+2-2）²=4（k-$\sqrt{{k}^{2}+1}$）²（k²+1），
∴AP=2（$\sqrt{{k}^{2}+1}$-k）×$\sqrt{{k}^{2}+1}$=2k²+2-2k$\sqrt{{k}^{2}+1}$=y_A，
∴⊙A與x軸相切，
②⊙C與x軸相切，
理由：由①知，A（2k-2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，2k²-2k$\sqrt{{k}^{2}+1}$+2），B（2k+2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，2k²+2k$\sqrt{{k}^{2}+1}$+2），
∴AB的中點坐標C的縱坐標為2k²+2，$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4（k²+1）=2k²+2=y_C，
∴⊙C與x軸相切．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，直線與圓的位置關系，平面坐標系中，兩點間的距離公式，解方程組，解本題的關鍵是解方程組，是一道中等難點的中考常考題．