Question

10．已知，矩形ABCD對角線AC、BD相交于點(diǎn)O．
 
（1）如圖①，若AC=6，則BD=6，OD=3；
（2）如圖②，DE∥AC，CE∥BD，求證：四邊形OCED是菱形；
（3）如圖③，在（2）的條件下，連接AE，BE，若AE=8，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）由矩形ABCD對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，根據(jù)矩形的對角線相等，且互相平分，即可求得答案；
（2）由矩形ABCD對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，易證得OC=OD，又由DE∥AC，CE∥BD，可證得四邊形OCED是平行四邊形，即可判定四邊形OCED是菱形；
（3）由四邊形OCED是菱形，四邊形ABCD是矩形，易證得△ADE≌△BCE，繼而求得答案．

解答 （1）解：∵矩形ABCD對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，
∴BD=AC=6，
∴OD=$\frac{1}{2}$BD=3；
故答案為：6，3；

（2）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，
∴OC=OD，
∴四邊形OCED是菱形；

（3）∵四邊形OCED是菱形，
∴DE=CE，
∴∠ECD=∠EDC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ADE=∠BCE，
在△ADE和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠ADE=∠BCE}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴BE=AE=8．

點(diǎn)評 此題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意掌握矩形的對角線相等且互相平分定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．