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如圖1,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,作AD⊥CD,垂足為D.

(1)若直線CD與⊙O相切于點C,求證:△ADC∽△ACB;

(2)如果把直線CD向下平行移動,如圖2,直線CD交⊙O于C、G兩點,若題目中的其他條件不變,tan∠DAC=,AB=10,求圓心O到GB的距離OH的長.

 


【考點】切線的性質;相似三角形的判定與性質.

【分析】(1)首先連接OC,由CD切⊙O于C,根據切線的性質,可得OC⊥CD,又由AD⊥CD,可得OC∥AD,又由OA=OC,易證得∠DAC=∠CAO,根據圓周角定理求得∠ACB=90°,得出∠ADC=∠ACB,即可證得結論;

(2)由于四邊形ABGC為⊙O的內接四邊形,根據圓的內接四邊形的性質得∠B+∠ACG=180°,易得∠ACD=∠B,又∠ADC=∠AGB=90°,利用等角的余角相等得到∠DAC=∠GAB,根據tan∠DAC==tan∠GAB=和勾股定理求得AG=8,GB=6,然后求得△ABG∽△OBH,根據相似三角形的性質求得==,即可求得OH=4.

【解答】(1)證明:連接OC,如圖1,

∵直線CD與⊙O相切于點C,

∴OC⊥CD,

∵AD⊥CD,

∴AD∥OC,

∴∠DAC=∠ACO,

∵OA=OC,

∴∠ACO=∠CAO,

∴∠DAC=∠CAO,

∵AB為⊙O的直徑,

∴∠ACB=90°,

∴∠ADC=∠ACB,

∴△ADC∽△ACB;

(2)解:如圖2,∵AB是⊙O的直徑,

∴∠AGB=90°,

∵四邊形ABGC是⊙O的內接四邊形,

∴∠ACD=∠B,

∵∠ADC=∠AGB=90°,

∴∠DAC=∠GAB,

∵tan∠DAC==tan∠GAB=

設GB=3x,AG=4x,

∵AB=10,

∴(3x)2+(4x)2=102

解得x=2,

∴AG=8,GB=6,

∵OH⊥GB,AG⊥GB,

∴OH∥AG,

∴△ABG∽△OBH,

==

∴OH=4.

【點評】此題考查了切線的性質、垂徑定理、等腰三角形的性質、平行線的判定與性質以及相似三角形的判定與性質.此題難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意數形結合思想的應用.

 


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