Question

16．如果關于x的一元二次方程a²x+bx+c=0有2個實數根，且其中一個實數根是另一個實數根的3倍，則稱該方程為“立根方程”．
（1）方程x²-4x+3=0是立根方程，方程x²-2x-3=0不是立根方程；（請填“是”或“不是”）
（2）請證明：當點（m，n）在反比例函數y=$\frac{3}{x}$上時，一元二次方程mx²+4x+n=0是立根方程；
（3）若方程ax²+bx+c=0是立根方程，且兩點P（p+p²+1，q）、Q（-p²+5+q，q）均在二次函數y=ax²+bx+c上，請求方程ax²+bx+c=0的兩個根．

Answer 1

分析 （1）分別解方程x²-4x+3=0與x²-2x-3=0，求出它們的根，根據“立根方程”的定義，判斷它們是不是立根方程．
（2）由點（m，n）在反比例函數y=$\frac{3}{x}$ 的圖象上，得到mn=3，解方程mx²+4x+n=0求得x₁與x₂的值，判斷是不是立根方程．
（3）由方程ax²+bx+c=0是立根方程，得到x₁=3x₂，由相異兩點P（p+p²+1，q），Q（-p²+5+q，q）都在拋物線y=ax²+bx+c上，而拋物線的對稱軸相同，于是求出方程的兩個根．

解答 解：（1）解方程x²-4x+3=0，得：x₁=3，x₂=1，
∵x₁=3x₂，
∴方程x²-4x+3=0是立根方程；
解方程x²-2x-3=0，得：x₁=3，x₂=-1，
∵x₁=-3x₂，
∴方程x²-2x-3=0不是立根方程．
故答案為：是，不是．
（2）∵點（m，n）在反比例函數y=$\frac{3}{x}$ 的圖象上，
∴n=$\frac{3}{m}$，
mx²+4x+n=0
即mx²+4x+$\frac{3}{m}$=0
解方程（mx）²+4mx+3=0
得：x₁=-$\frac{3}{m}$，x₂=-$\frac{1}{m}$，
∴x₁=3x₂，
當點（m，n）在反比例函數y=$\frac{3}{x}$上時，一元二次方程mx²+4x+n=0是立根方程；
（3）∵方程ax2+bx+c=0是立根方程，
∴設x₁=3x₂，
∵相異兩點P（p+p²+1，q），Q（-p²+5+q，q）都在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴拋物線的對稱軸x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{p+{p}^{2}+1-{p}^{2}+5+q}{2}$=$\frac{6+p+q}{2}$，
∴x₁+x₂=6+p+q，
∴3x₂+x₂=6+p+q，
∴x₂=$\frac{6+p+q}{4}$，
∴x₁=3x₂=$\frac{18+3p+3q}{4}$．
所以方程ax²+bx+c=0的兩個根為：x₁=$\frac{18+3p+3q}{4}$，x₂=$\frac{6+p+q}{4}$．

點評 本題考查了根與系數的關系，根的判別式，反比例函數圖形上點的坐標特征，二次函數圖形上點的坐標特征，正確的理解“倍根方程”的定義是解題的關鍵．