Question

20．如圖，拋物線y=a（x-1）²+k與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-1，0）和（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，與拋物線交于點(diǎn)D．
①若直線DM經(jīng)過線段BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②是否存在點(diǎn)M，使得以M、D、O、B為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，即可求出拋物線的解析式；
（2）令y=0，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式；
①由平行可得△CEM∽△COB，利用相似三角形的性質(zhì)求出OE的長度，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m-3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m²-2m-3），用含m的式子表示出DM的長度，由以M、D、O、B為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，可知DM=3，分別解兩個(gè)一元二次方程即可．

解答 解：（1）將A（-1，0），B（0，-3）代入y=a（x-1）²+k中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{a+k=-3}\\{4a+k=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{k=-4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=（x-1）²-4；
（2）由（x-1）²-4=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
將C（3，0），B（0，-3）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=x-3；
①又EM∥BO，可求得△CEM∽△COB，
∵直線DM經(jīng)過BC的中點(diǎn)，
∴$\frac{CE}{CO}=\frac{CM}{CB}=\frac{1}{2}$，解得：OE=$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$-\frac{3}{2}$），點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$，
將x=$\frac{3}{2}$代入y=（x-1）²-4，解得：y=$-\frac{15}{4}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$-\frac{15}{4}$）；
②存在點(diǎn)M，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m-3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m²-2m-3），
∴DM=m-3-（m²-2m-3）=m-3-m²+2m+3=-m²+3m，
或DM=m²-2m-3-（m-3）=m²-2m-3-m+3=m²-3m，
若以M、D、O、B為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則DM=3，
即-m²+3m=3，或m²-3m=3，
對(duì)于方程-m²+3m=3，△=b²-4ac=-3＜0，方程無解，即點(diǎn)M不存在；
對(duì)于方程m²-3m=3，解得m₁=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，m₂=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，$\frac{\sqrt{21}-3}{2}$）或（$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，$\frac{-\sqrt{21}-3}{2}$），
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，$\frac{\sqrt{21}-3}{2}$）或（$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，$\frac{-\sqrt{21}-3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在解決第②小題的題目時(shí)，要根據(jù)點(diǎn)M的不同位置，用含m的式子表示出DM的值，進(jìn)而列出方程是解決此類題目的關(guān)鍵．