Question

9．觀察下列各式：①$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=2$\sqrt{\frac{1}{3}}$，②$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=3$\sqrt{\frac{1}{4}}$；③$\sqrt{3+\frac{1}{5}}$=4$\sqrt{\frac{1}{5}}$，…
（1）請觀察規律，并寫出第④個等式：$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$；
（2）請用含n（n≥1）的式子寫出你猜想的規律：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$；
（3）請證明（2）中的結論．

Answer 1

分析 （1）認真觀察題中所給的式子，得出其規律并根據規律寫出第④個等式；
（2）根據規律寫出含n的式子即可；
（3）結合二次根式的性質進行化簡求解驗證即可．

解答 解：（1）$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$；
（2）$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$；
（3）$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$
=$\sqrt{\frac{{n}^{2}+2n}{n+2}+\frac{1}{n+2}}$
=$\sqrt{\frac{{n}^{2}+2n+1}{n+2}}$
=$\sqrt{\frac{（n+1）^{2}}{n+2}}$
=（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$．
故答案為：（1）$\sqrt{4+\frac{1}{6}}$=5$\sqrt{\frac{1}{6}}$；
（2））$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$=（n+1）$\sqrt{\frac{1}{n+2}}$．

點評 本題考查了二次根式的性質與化簡，解答本題的關鍵在于認真觀察題中所給的式子，得出其規律并根據規律進行求解即可．