Question

20．我們定義：有一組對(duì)角相等而另一對(duì)角不相等的凸四邊形叫做“等對(duì)角四邊形”．已知：在“等對(duì)角四邊形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 分兩種情況：①當(dāng)∠ADC=∠ABC=90°時(shí)，延長(zhǎng)AD，BC相交于點(diǎn)E，先用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AE，得出DE，再用三角函數(shù)求出CD，由勾股定理求出AC；
②當(dāng)∠BCD=∠DAB=60°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，則∠AMD=90°，四邊形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性質(zhì)得出DN=BM=3，BN=DM=2$\sqrt{3}$，求出CN、BC，根據(jù)勾股定理求出AC即可．

解答 解：分兩種情況：
①當(dāng)∠ADC=∠ABC=90°時(shí)，延長(zhǎng)AD，BC相交于點(diǎn)E，如圖1所示：

∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，
∴∠E=30°，
∴AE=2AB=10，
∴DE=AE-AD=10-4═6，
∵∠EDC=90°，∠E=30°，
∴CD=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$；
②當(dāng)∠BCD=∠DAB=60°時(shí)，
過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，如圖2所示：

則∠AMD=90°，四邊形BNDM是矩形，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴DM=2$\sqrt{3}$
∴BM=AB-AM=5-2=3，
∵四邊形BNDM是矩形，
∴DN=BM=3，BN=DM=2$\sqrt{3}$，
∵∠BCD=60°，
∴CN=$\sqrt{3}$，
∴BC=CN+BN=3$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{{5}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{13}$；
綜上所述：AC的長(zhǎng)為2$\sqrt{7}$或2$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了新定義、四邊形內(nèi)角和定理、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，需要進(jìn)行分類(lèi)討論，通過(guò)作輔助線運(yùn)用三角函數(shù)和勾股定理才能得出結(jié)果．