Question

12．在平面直角坐標系中，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點A（-3，0），B（2，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）平移拋物線y=x²+bx+c，記平移后的拋物線為C₁，點B的對應點為B′，點C的對應點為C′，當以點B、B′、C、C′為頂點的菱形面積最大時，求拋物線C₁的解析式．

Answer 1

分析 （1）待定系數法求解可得；
（2）若要使點B、B′、C、C′為頂點的四邊形為菱形，則拋物線可以沿左右方向或上下方向平移BC的長度，據此分別求出兩種情況下菱形的面積，可知平移的方向和距離，繼而可得答案．

解答 解：（1）把點A（-3，0），B（2，0）代入y=x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{9-3b+c=0}\\{4+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²+x-6；

（2）∵OB=2，OC=6，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，

若將拋物線向左或向右平移2$\sqrt{10}$個單位時，菱形的面積為2$\sqrt{10}$×6=12$\sqrt{10}$；
若將拋物線向上或向下平移2$\sqrt{10}$個單位，菱形的面積為2$\sqrt{10}$×2=4$\sqrt{10}$，
∴當以點B、B′、C、C′為頂點的菱形面積最大時，應將拋物線向左或向右平移2$\sqrt{10}$個單位，
向左平移時拋物線C₁的解析式為y=（x+2$\sqrt{10}$）²+x+2$\sqrt{10}$-6=x²+（4$\sqrt{10}$+1）x+34+2$\sqrt{10}$，
向右平移時拋物線C₁的解析式為y=（x-2$\sqrt{10}$）²+x-2$\sqrt{10}$-6=x²-（4$\sqrt{10}$-1）x+34-2$\sqrt{10}$．

點評 本題主要考查待定系數法求二次函數的解析式及菱形的性質，熟練掌握菱形的性質及二次函數的圖象與幾何變換是解題的關鍵．