Question

如圖，⊙O中，FG、AC是直徑，AB是弦，FG⊥AB，垂足為點P，過點C的直線交AB的延長線于點D，交GF的延長線于點E，已知AB=4，⊙O的半徑為．

（1）分別求出線段AP、CB的長；

（2）如果OE=5，求證：DE是⊙O的切線；

（3）如果tan∠E=，求DE的長．

Answer 1

（1）解：∵AC為直徑，

∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，AC=2，AB=4，

∴BC==2，

∵直徑FG⊥AB，

∴AP=BP=AB=2；

（2）證明：∵AP=BP，

∴OP為△ABC的中位線，

∴OP=BC=1，

∴=，

而==，

∴=，

∵∠EOC=∠AOP，

∴△EOC∽△AOP，

∴∠OCE=∠OPA=90°，

∴OC⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（3）解：∵BC∥EP，

∴∠DCB=∠E，

∴tan∠DCB=tan∠E=

在Rt△BCD中，BC=2，tan∠DCB==，

∴BD=3，

∴CD==，

∵BC∥EP，

∴=，即=，

∴DE=．