Question

如圖所示，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，D是AB延長線上一點，連接DC，且AC=DC，BC=BD．

（1）求證：DC是⊙O的切線；

（2）作CD的平行線AE交⊙O于點E，已知DC=10，求圓心O到AE的距離．

Answer 1

（1）證明：連接OC，

∵AC=DC，BC=BD，

∴∠CAD=∠D，∠D=∠BCD，

∴∠CAD=∠D=∠BCD，

∴∠ABC=∠D+∠BCD=2∠CAD，

設∠CAD=x°，則∠D=∠BCD=x°，∠ABC=2x°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴x+2x=90，

x=30，

即∠CAD=∠D=30°，∠CBO=60°，

∵OC=OB，

∴△BCO是等邊三角形，

∴∠COB=60°，

∴∠OCD=180°﹣30°﹣60°=90°，

即OC⊥CD，

∵OC為半徑，

∴DC是⊙O的切線；

 

（2）解：過O作OF⊥AE于F，

∵在Rt△OCD中，∠OCD=90°，∠D=30°，CD=10，

∴OC=CD×tan30°=10，

OD=2OC=20，

∴OA=OC=10，

∵AE∥CD，

∴∠FAO=∠D=30°，

∴OF=AO×sin30°=10×=5，

即圓心O到AE的距離是5．