Question

20．如圖，直線AB，CD相交于點O，∠DOE：∠BOE=3：1，OF平分∠AOD，
（1）∠AOC=∠AOF-30°，求∠EOF；
（2）射線OM平分∠AOF，求∠MOE的度數．

Answer 1

分析 （1）根據對頂角相等，以及鄰補角的定義，可得關于∠AOC、∠AOF的方程組，解方程可求∠EOF；
（2）根據角平分線的定義和已知條件可得∠MOE是平角的$\frac{3}{4}$，從而得到∠MOE的度數．

解答 解：（1）依題意有：
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC+2∠AOF=180°}\\{∠AOC=∠AOF-30°}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=70°}\\{∠AOC=40°}\end{array}\right.$，
∵∠BOD=∠AOC=40°，∠DOE：∠BOE=3：1，
∴∠DOE=30°，
∴∠EOF=∠DOE+∠DOF=∠DOE+∠AOF=100°；

（2）∵射線OM平分∠AOF，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOF，
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOD，
∴∠AOM=$\frac{1}{4}$∠AOD，
∵∠DOE：∠BOE=3：1，
∴∠MOD=$\frac{3}{4}$∠AOD，∠DOE=$\frac{3}{4}$∠DOB，
∴∠MOE=∠MOD+∠DOE=$\frac{3}{4}$∠AOD+$\frac{3}{4}$∠DOB=$\frac{3}{4}$（∠AOD+∠DOB）=$\frac{3}{4}$∠AOB，
∴∠MOE的度數為180°×$\frac{3}{4}$=135°．

點評 本題考查了角平分線的定義，對頂角相等以及鄰補角的定義，關鍵是方程思想的運用．