Question

17．已知，如圖，⊙O的半徑為6，弧$\widehat{AC}$的度數為120°，點B為弧$\widehat{AC}$的中點，點D為⊙O上異于A、B、C的三點，OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，連接EF．
（1）求證：四邊形OABC是菱形；
（2）求線段EF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OB，根據已知條件得到∠AOB=∠COB=60°，推出△AOB與△COB是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到OA=OB=BC=OC，于是得到四邊形OABC是菱形；
（2）連接AC，交OB于G，由四邊形OABC是菱形，得到∠OAC=30°，求得AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AO=3$\sqrt{3}$，得到AC=2AG=6$\sqrt{3}$，根據三角形的中位線的性質即可得到結論．

解答 解：（1）連接OB，
∵$\widehat{AC}$的度數為120°，點B為弧$\widehat{AC}$的中點，
∴∠AOB=∠COB=60°，
∵AO=BO=CO，
∴△AOB與△COB是等邊三角形，
∴OA=OB=BC=OC，
∴四邊形OABC是菱形；

（2）連接AC，交OB于G，
∵四邊形OABC是菱形，
∴∠OAC=30°，
AC⊥OB，
∴AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AO=3$\sqrt{3}$，
∴AC=2AG=6$\sqrt{3}$，
∵OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，
∴DE=AE．DF=CF，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC=3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了圓周角定理，菱形的判定和性質，三角形的中位線的性質，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．