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2.已知六邊形ABCDEF內接于⊙O,AF∥DC,EF∥BC,DE∥AB,AB+BC=2CD,分別以六條邊為一邊作正方形,得到六個正方形的面積和為2008,求六邊形的周長.

分析 如圖,AF∥DC,EF∥BC,DE∥AB,可知AD、BE、CF都是直徑,推出DE=AB,EF=BC,FA=CD,設CD=x,AB=x-d,則BC=x+d,EF=x+d,由題意2(x-d)2+2x2+2(x+d)2=2008,整理得3x2+2d2=1004,利用不等式,求出x的整數解,即可解決問題.

解答 解:如圖,AF∥DC,EF∥BC,DE∥AB,可知AD、BE、CF都是直徑,
∴DE=AB,EF=BC,FA=CD,設CD=x,AB=x-d,則BC=x+d,EF=x+d,
由題意2(x-d)2+2x2+2(x+d)2=2008,整理得3x2+2d2=1004,
顯然,x2=$\frac{1004-2p9vv5xb5^{2}}{3}$<335,得x≤18,
又d2=$\frac{1004-3{x}^{2}}{2}$<x2,得到5x2>1004,
∴x2>200,可得x≥15,
∵x是偶數,
∴x=16或18,
若x=16,則d2=$\frac{1004-3{x}^{2}}{2}$=118,顯然無整數解,
若x=18,則d2=$\frac{1004-3{x}^{2}}{2}$=16,
∵d>0,
∴d=4,
∴AB=x-d=14,CD=x=18,BC=x+d=22,
∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(14+18+22)=108.

點評 本題考查正多邊形與圓、二元二次方方程的整數解問題、不等式等整數,解題的關鍵是學會構建二元二次方程,學會利用不等式確定整數解,題目比較難,屬于競賽題目.

練習冊系列答案
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