Question

1．直線y=x+b（b＞0）與x，y軸分別交于A，B兩點，點A的坐標為（-6，0），過點B的另一直線交x軸正半軸于點C，且$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{3}$．
（1）求點B的坐標及直線BC的解析式；
（2）在線段OB上存在點P，使點P到點B，C的距離相等，求出點P坐標；
（3）在x軸上方存在點D，使以點A，B，D為頂點的三角形與△ABC全等，畫出△ABD并請直接寫出點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）思想利用待定系數法求出點B坐標、點C坐標，再利用待定系數法即可解決問題．
（2）如圖1中，由題意PB=PC，設PB=PC=x．在Rt△POC中，利用勾股定理列出方程即可解決問題．
（3）設點C關于直線AB的對稱點為D，則△ABD≌△ABC，求出直線CD的解析式，利用中點坐標公式即可解決問題，再根據對稱性可得另一個滿足條件的點D′坐標．

解答 解：（1）把A的坐標為（-6，0）代入y=x+b中，得到b=6，
∴B（0，6），
∵$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{3}$，
∴OC=2，
∴C（2，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-3x+6．

（2）如圖1中，由題意PB=PC，設PB=PC=x．

在Rt△POC中，∵OP=6-x，PC=x，OC=2，
∴x²=（6-x）²+2²，
∴x=$\frac{10}{3}$，
∴OP=6-$\frac{10}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∴P（0，$\frac{8}{3}$）．

（3）如圖2中，

設點C關于直線AB的對稱點為D，則△ABD≌△ABC，
∵直線AB的解析式為y=x+6，
∴直線CD的解析式為y=-x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+6}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴H（-2，4），
∵DH=HC，
∴D（-6，8），
根據對稱性點D關于直線y=-x的對稱點D′（-8，6）也滿足條件．
綜上所述，滿足條件的點D的坐標為（-6，8）或（-8，6）．

點評 本題考查一次函數綜合題、線段的垂直平分線的性質、勾股定理、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會構建一次函數利用方程組確定兩個函數的圖象的交點坐標，屬于中考壓軸題．