Question

7．如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于O，且AC平分∠DAB．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若AC=8，BD=6，試求點O到AB的距離．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的對邊平行得∠DAC=∠BCA，由角平分線的性質得∠DAC=∠BAC，即可知∠BCA=∠BAC，從而得AB=BC，即可得證；
（2）由菱形的對角線互相垂直且平分得AO=4、BO=3且∠AOB=90°，利用勾股定理得AB=5，根據S_△AOB=$\frac{1}{2}$×AB•h=$\frac{1}{2}$×AO×BO可得答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BCA=∠BAC，
∴AB=BC，
∴平行四邊形ABCD是菱形；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，且AC=8、BD=6，
∴AO=4、BO=3，且∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=5，
設點O到AB的距離為h，
則由S_△AOB=$\frac{1}{2}$×AB•h=$\frac{1}{2}$×AO×BO，即5h=12，
得h=$\frac{12}{5}$，
即點O到AB的距離為$\frac{12}{5}$．

點評 本題主要考查平行四邊形的性質、菱形的判定與性質及勾股定理，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．