Question

16．已知在矩形ABCD中，AB=2，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），連接ED，若△AED是等腰三角形，則AD的長為4．

Answer 1

分析 當(dāng)AE=DE，在矩形ABCD中，由AE平分∠BAD，得到△ABE是等腰直角三角形，求得AB=BE=2，得到AE=2$\sqrt{2}$，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DEC=∠AEB=45°，得到∠AED=90°，于是得到結(jié)論；如圖2，當(dāng)AD=DE，在矩形ABCD中，于是得到AD=AE=2$\sqrt{2}$．

解答 解：如圖1，當(dāng)AE=DE，
在矩形ABCD中，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE=2，
∴AE=2$\sqrt{2}$，
在Rt△ABE與Rt△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△CDE，
∴∠DEC=∠AEB=45°，
∴∠AED=90°，
∵DE=AE，
∴AD=$\sqrt{2}$AE=4；
如圖2，當(dāng)AD=DE，
在矩形ABCD中，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE=2，
∴AD=AE=2$\sqrt{2}$，
故答案為：4或2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．