Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上一點，點F在射線CM上,∠AEF=90°，AE=EF，過點F作射線BC的垂線，垂足為H，連接AC.

(1) 試判斷BE與FH的數量關系，并說明理由；

(2) 求證：∠ACF=90°；

(3) 連接AF，過A，E，F三點作圓，如圖. 若EC=4，∠CEF=15°，求 AE 的長.

                        

Answer 1

（1）BE=FH。理由如下：

         ∵四邊形ABCD是正方形  ∴∠B=90，

∵FHBC   ∴∠FHE=90

又∵∠AEF=90°   ∴∠AEB+∠HEF=90°   且∠BAE+∠AEB=90°

∴∠HEF=∠BAE   ∴ ∠AEB=∠EFH    又∵AE=EF

∴ △ABE≌△EHF（SAS）

∴BE=FH

(2)∵△ABE≌△EHF

∴BC=EH，BE=FH   又∵BE+EC=EC+CH  ∴BE=CH

∴CH=FH

∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°

∵AC是正方形對角線，∴ ∠ACD=45°

∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°

（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形

     △AEF外接圓的圓心在斜邊AF的中點上。設該中點為O。連結EO，得∠AOE=90°

過E作EN⊥AC于點N

RT△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=

RT△ENA中，EN =  

又∵∠EAF=45°  ∠CAF=∠CEF=15°（等弧對等角）∴∠EAC=30°

∴AE=

RT△AFE中，AE== EF，∴AF=8

 AE所在的圓O半徑為4，其所對的圓心角為∠AOE=90°

AE=2π·4·（90°÷360°）=2π