Question

12．觀察下列等式：$1×\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$，$2×\frac{2}{3}=2-\frac{2}{3}$，$3×\frac{3}{4}=3-\frac{3}{4}$，…
（1）寫出第6個等式$6×\frac{6}{7}=6-\frac{6}{7}$，寫出第100個等式$100×\frac{100}{101}=100-\frac{100}{101}$；
（2）猜想并寫出第n個等式$n×\frac{n}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 （1）根據題意可知左邊是整數與分數的積，右邊是這兩個數的差；而分數的分子等于整數，分母比整數大1．
（2）第n個等式整數即為n，則分數為$\frac{n}{n+1}$，再根據上述規律即可列出第n個等式．

解答 解：（1）由$1×\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$，$2×\frac{2}{3}=2-\frac{2}{3}$，$3×\frac{3}{4}=3-\frac{3}{4}$可知
左邊是整數與分數的積，右邊是這兩個整數與分數的差，而分數的分子等于整數，分母比整數大1；
故第6個等式為$6×\frac{6}{7}=6-\frac{6}{7}、$第100個等式為$100×\frac{100}{101}=100-\frac{100}{101}$；
（2）根據上述規律第n個等式為：$n×\frac{n}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}$．
故答案為：（1）$6×\frac{6}{7}=6-\frac{6}{7}、100×\frac{100}{101}=100-\frac{100}{101}$；
（2）$n×\frac{n}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了數字的變化規律和代數式的書寫，解題的關鍵是先從簡單的例子入手尋求規律，再得出一般化結論，屬基礎題．