Question

1．如圖，在矩形ABCD中，AB=8$\sqrt{3}$，AD=10，點E是CD的中點，將這張紙片依次折疊兩次：第一次折疊紙片使點A與點E重合，如圖2，折痕為MN，連接ME、NE；第二次折疊紙片使點N與點E重合，如圖3，點B落到B′處，折痕為HG，連接HE，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（　　）
①ME∥HG；②△MEH是等邊三角形；③∠EHG=∠AMN；④tan∠EHG=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)折疊的性質(zhì)可得EM∥GH，再根據(jù)等量代換，即可得出∠AMN=∠EHG；在直角三角形中運用勾股定理，即可得出AM=EM=7.4，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得出EN=$\frac{37}{6}\sqrt{3}$=AN，進而得到tan∠AMN=$\frac{AN}{MN}$=$\frac{5}{6}\sqrt{3}$=tan∠EHG，最后根據(jù)∠EMH≠60°，可得△MEH不是等邊三角形．

解答 解：如圖3，由折疊可得，∠MEN=∠A=90°，HG⊥NE，
即ME⊥EN，HG⊥EN，
∴EM∥GH，故①正確；
∴∠NME=∠NHG，
由折疊可得，∠NME=∠AMN，∠EHG=∠NHG，
∴∠AMN=∠EHG，故③正確；
如圖2，作NF⊥CD于F．
設(shè)DM=x，則AM=EM=10-x，
∵點E是CD的中點，AB=CD=8$\sqrt{3}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=4$\sqrt{3}$，
在Rt△DEM中，∵DM²+DE²=EM²，
∴（4$\sqrt{3}$）²+x²=（10-x）²，
解得x=2.6，
∴DM=2.6，AM=EM=7.4，
∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，
∴∠DEM=∠ENF，
∵∠D=∠EFN=90°，
∴△DME∽△FEN，
∴$\frac{DE}{FN}$=$\frac{EM}{EN}$，即$\frac{4\sqrt{3}}{10}$=$\frac{7.4}{EN}$，
∴EN=$\frac{37}{6}\sqrt{3}$，
∴AN=$\frac{37}{6}\sqrt{3}$，
∴tan∠AMN=$\frac{AN}{MN}$=$\frac{5}{6}\sqrt{3}$，
∴tan∠EHG=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，故④正確；
又∵tan60°=$\sqrt{3}$＞$\frac{5}{6}\sqrt{3}$，
∴∠AMN≠60°，即∠EMH≠60°，
∴△MEH不是等邊三角形，故②錯誤．
∴正確的結(jié)論有3個．
故選：C．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查翻折變換、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形，依據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，求得EN的長度．解決折疊問題時，常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨�角形，運用勾股定理列出方程求出答案．