Question

19．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，點E是CD上一點，且DE=2，CE=3，射線AE與射線BC相交于點F；
（1）求$\frac{EF}{AF}$的值；
（2）如果$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，求向量$\overrightarrow{EF}$；（用向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$表示）

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形的性質得出AB=5、AB∥EC，證△FEC∽△FAB得$\frac{EF}{AF}$=$\frac{EC}{AB}$=$\frac{3}{5}$；
（2）由△FEC∽△FAB得$\frac{EC}{AB}$=$\frac{FC}{FB}=\frac{EC}{AB}=\frac{3}{5}$，從而知FC=$\frac{3}{2}$BC，EC=$\frac{3}{5}$AB，再由平行四邊形性質及向量可得$\overrightarrow{EC}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{FC}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{b}$，最后根據向量的運算得出答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，DE=2，CE=3，
∴AB=DC=DE+CE=5，且AB∥EC，
∴△FEC∽△FAB，
∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{EC}{AB}$=$\frac{3}{5}$；

（2）∵△FEC∽△FAB，
∴$\frac{EC}{AB}$=$\frac{FC}{FB}=\frac{EC}{AB}=\frac{3}{5}$，
∴FC=$\frac{3}{2}$BC，EC=$\frac{3}{5}$AB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，EC∥AB，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{EC}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{FC}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{b}$，
則$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{CF}$=$\frac{3}{5}\overrightarrow{a}+\frac{3}{2}\overrightarrow{b}$．

點評 本題主要考查相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質及向量的運算，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．