Question

20．己知：Rt△OAB在直角坐標系中的位置如圖所示，點B的坐標為（4，2），P為OB的中點，點C為折線OAB上的動點，線段PC把Rt△OAB分割成兩部分，問：點C在什么位置時，分割得到的三角形與Rt△OAB相似？要求在圖上畫出所有符合要求的線段PC，并求出相應的點C的坐標．

Answer 1

分析 由于C點不確定，故分△OPC∽△OBA，△BPC∽△BOA，△OPC∽△OAB三種情況進行討論．

解答 解：∵點B的坐標為（4，2），
∴OA=4，AB=2，OB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，OP=$\sqrt{5}$．
如圖，當△OPC∽△OBA時，
∵$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OP}{OB}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{PC}{2}$=$\frac{OC}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴PC=1，OC=2，
∴C₁（2，0）；
當△BPC∽△BOA時，
∵$\frac{PB}{OB}$=$\frac{BC}{OA}$=$\frac{PC}{OA}$，即$\frac{1}{2}$=$\frac{BC}{2}$=$\frac{PC}{4}$，解得BC=2，
∴AC=1-1=1，
∴C₂（4，1）；
當△OPC∽△OAB時，
∴$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OC}{OB}$，即$\frac{\sqrt{5}}{4}$=$\frac{OC}{2\sqrt{5}}$，解得OC=2.5，
∴C₃（2.5，0）；
綜上所述，C點坐標為：（2，0）或（4，1）或（2.5，0）．

點評 本題考查的是相似三角形的判定，在解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解．