Question

7．如圖，△ABC內接于⊙O，AB 是直徑，過點A作直線MN，且∠MAC=∠ABC．
（1）求證：MN是⊙O的切線；
（2）設D是弧AC的中點，連結BD交AC于點G，過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點F．
①求證：FD=FG．
②若BC=2，AB=3，試求AE的長．

Answer 1

分析 （1）即證∠MAC+∠CAB=90°．因為AB為直徑，所以∠ACB=90°，∠ABC+∠CAB=90°．由∠MAC=∠ABC得證；
（2）①證明∠BDE=∠DGF即可．∠BDE=90°-∠ABD；∠DGF=∠CGB=90°-∠CBD．因為D是弧AC的中點，所以∠ABD=∠CBD．問題得證；②連接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延長線于H點．證明Rt△ADE≌Rt△CDH，得AE=CH．根據AB=BH求解．

解答 （1）證明：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°；
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，即MA⊥AB，
∴MN是⊙O的切線；

（2）①證明：∵D是弧AC的中點，
∴∠DBC=∠ABD，
∵AB是直徑，
∴∠CBG+∠CGB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠ABD=90°，
∵∠DBC=∠ABD，
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD，
∴FD=FG；

②解：連接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延長線于H點．
∵∠DBC=∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，
∴DE=DH，
在Rt△BDE與△RtBDH中，$\left\{\begin{array}{l}{DH=DE}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△RtBDE≌△RtBDH，
∴BE=BH，
∵D是弧AC的中點，
∴AD=DC，
在Rt△ADE與Rt△CDH中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DH}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH．
∴AE=CH．
∴BE=AB-AE=BC+CH=BH，即3-AE=2+AE，
∴AE=$\frac{1}{2}$．

點評 此題考查了切線的判定、等腰三角形的判定、三角形全等等知識點，綜合性強；特別是最后一個問題正確的作出輔助線構造全等三角形求解是解題的關鍵．