Question

2．在平面直角坐標系中，函數$y=-\frac{4}{3}x+b$的圖象分別交x軸、y軸正半軸于點A、C，在第一象限內點M的坐標為（1，$\frac{16}{3}$），CM=$\frac{5}{3}$，過點C作射線CR∥x軸．
（1）求直線AC的解析式；
（2）點P自點C沿射線CR以每秒1個單位長度運動，同時點Q自點A沿線段AC以每秒1個單位的速度向點C運動，其中一個點停止運動時，另一個點也停止運動，點B（-1，0），過點P作PF∥CB，分別交線段AC、x軸于點E、F，設線段EQ的長為S （s＞0）個單位長度，點Q 的運動時間為t（秒），求S與t的函數關系式，并直接寫出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，在P、Q運動的過程中，是否存在t值，使得∠PFQ=45°？若存在，求t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由CM的長度，及直線AC解析式可以得出b值，進而求出直線AC的解析式；
（2）先求出AC長度，再分別表示出CE、AQ的長度，則EQ的長度自然可以表示出來；
（3）通過輔助線構造等腰直角三角形，利用相似三角形解決問題．

解答 解：（1）∵點C在y軸上，設點C（0，b），
∵CM=$\frac{5}{3}$，M（1，$\frac{16}{3}$），
∴$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{16}{3}-b）^{2}}$=$\frac{5}{3}$
解得：b=4，或b=$\frac{20}{3}$，
∵點C在點M下方，
∴直線AC解析式為：y=-$\frac{4}{3}$x+4．
（2）在RT△AOC中，∵AO=3，CO=5，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
∵EF∥AB，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{BA}$，
∴$\frac{AE}{5}=\frac{3-（t-1）}{4}$，
∴AE=5-$\frac{5}{4}$t，CE=$\frac{5}{4}$t，
當CE+AQ=5時，$\frac{5}{4}$t+t=5，
∴t=$\frac{20}{9}$
①0＜t≤$\frac{20}{9}$時，EQ=AC-CE-AQ=5-$\frac{5}{4}$t-t=5-$\frac{9}{4}$t，
②$\frac{20}{9}$＜t≤3時，EQ=EC+AQ-AC=$\frac{9}{4}$t-5，
③3＜t≤5時，由$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$得$\frac{AE}{5}=\frac{t-4}{4}$
∴AE=$\frac{5}{4}$t-5，
∴EQ=AE+AQ=t+$\frac{5}{4}$t-5=$\frac{9}{4}$t-5，
（3）存在；
情形①如圖，取點M（4，3），連接CM，BM，作MG⊥CR垂足為G交OA于K，作QH⊥OA垂足為H，
∵CG=CO=4，∠CGM=∠COB=90°，MG=BO=1
∴△CGM≌△COB，
∴∠GCM=∠OCB，CB=CM，
∴∠BCM=∠OCG=90°，
∴△BCM的等腰直角三角形，
∴∠1=∠3=45°，
∵PF∥BC，
∴∠2=∠1=45°，∵∠4=45°，
∴∠2=∠4，
∴FQ∥BN，
∴∠QFH=∠MBK，∵∠QHF=∠MKB=90°，
∴△QHF∽△MKB，
∴$\frac{QH}{MK}=\frac{FH}{BK}$，∴$\frac{\frac{4}{5}t}{3}=\frac{3-（t-1）-\frac{3}{5}t}{5}$，
∴t=$\frac{15}{11}$．
情形②如圖，由∠2=∠4=45°，可知∠MNF=90°，
由△QHF∽BKM得到$\frac{QH}{BK}=\frac{HF}{MK}$，
∴$\frac{\frac{4}{5}t}{5}=\frac{\frac{3}{5}t-（4-t）}{3}$，
∴t=$\frac{25}{7}$，
綜上所述t=$\frac{15}{11}$或$\frac{25}{7}$．

點評 此題考查了直角三角形的性質及全等三角形以及相似三角形的判定及性質，屬于綜合性較強的題目，對于此類動點型題目，首先要確定符合題意的條件下動點所在的位置，然后用時間t表示出有關線段的長度，進而建立關于線段的關系式，難度較大．