Question

2．如圖Ⅰ，在第四象限的矩形ABCD，點A與坐標原點O重合，且AB=4，AD=3．如圖Ⅱ，矩形ABCD沿OC方向以每秒1個單位長度的速度運動，同時點Q從B點出發也以每秒1個單位長度的速度沿矩形ABCD的邊BC經過點C向點D運動，當點Q到達點D時，矩形ABCD和點Q同時停止運動，設點Q運動的時間為t秒．

（1）在圖Ⅰ中，點C的坐標（4，3），在圖Ⅱ中，當t=2時，點A坐標（$\frac{8}{5}$，-$\frac{6}{5}$），Q坐標（$\frac{28}{5}$，-$\frac{16}{5}$）
（2）當點Q在線段BC或線段CD上運動時，求出△ACQ的面積S關于t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
（3）點Q在線段BC或線段CD上運動時，作QM⊥x軸，垂足為點M，當△QMO與△ACD相似時，求出相應的t值．

Answer 1

分析 （1）根據AB=4，AD=3，可得點A的坐標，過A作AE⊥x軸于E，根據△AOE∽△CAB，可得AE：OE：AO=3：4：5，再根據當t=2時，OA=2，OE=$\frac{8}{5}$，AE=$\frac{6}{5}$，BQ=2，可得點A和點Q的坐標；
（2）分兩種情況進行討論：①當點Q在BC上時，②當點Q在CD上時，分別根據△ACQ的面積計算方法，求得S關于t的函數關系式，并根據點Q的位置寫出t的取值范圍；
（3）先過A作AE⊥x軸于E，根據△AOE∽△CAB，得出AE：OE：AO=3：4：5，再根據OA=t，得出OE=$\frac{4}{5}$t，AE=$\frac{3}{5}$t，再分兩種情況進行討論：①當點Q在BC上時，連接OQ，②當點Q在CD上時，連接OQ，分別根據相似三角形的對應邊成比例，列出關于t的比例式，求得t的值并檢驗即可．

解答 解：（1）如圖所示，∵AB=4，AD=3，
∴A（4，3），AC=5，
過A作AE⊥x軸于E，則△AOE∽△CAB，
∴AE：OE：AO=3：4：5，
當t=2時，OA=2，OE=$\frac{8}{5}$，AE=$\frac{6}{5}$，BQ=2，
∴A（$\frac{8}{5}$，-$\frac{6}{5}$），
∵OE+AB=$\frac{28}{5}$，AE+BQ=$\frac{16}{5}$，
∴Q（$\frac{28}{5}$，-$\frac{16}{5}$），
故答案為：（4，3），（$\frac{8}{5}$，-$\frac{6}{5}$），（$\frac{28}{5}$，-$\frac{16}{5}$）；

（2）①當點Q在BC上時，連接AQ，
∵BQ=t，BC=3，
∴CQ=3-t，
∴△ACQ的面積=$\frac{1}{2}$×CQ×AB，即S=$\frac{1}{2}$×（3-t）×4=-2t+6（0≤t＜3）；
②當點Q在CD上時，連接AQ，
∵QC+BC=t，BC=3，
∴CQ=t-3，
∴△ACQ的面積=$\frac{1}{2}$×CQ×AD，即S=$\frac{1}{2}$×（t-3）×3=$\frac{3}{2}$t-$\frac{9}{2}$（3≤t≤7）；
∴S關于t的函數關系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{-2t+6（0≤t＜3）}\\{\frac{3}{2}t-\frac{9}{2}（3≤t≤7）}\end{array}\right.$；

（3）如圖所示，過A作AE⊥x軸于E，則△AOE∽△CAB，
∴AE：OE：AO=3：4：5，
∵OA=t，
∴OE=$\frac{4}{5}$t，AE=$\frac{3}{5}$t，
①當點Q在BC上時，連接OQ，
∵∠OMQ=∠D=90°，而BQ=t，
∴當$\frac{OM}{QM}$=$\frac{DC}{DA}$時，△OMQ∽△CDA，
此時，$\frac{\frac{4}{5}t+4}{\frac{3}{5}t+t}$=$\frac{4}{3}$，解得t=3；
當$\frac{OM}{QM}$=$\frac{DA}{DC}$時，△OMQ∽△ADC，
此時，$\frac{\frac{4}{5}t+4}{\frac{3}{5}t+t}$=$\frac{3}{4}$，解得t=10＞3，（舍去）；
②當點Q在CD上時，連接OQ，而DQ=3+4-t=7-t=EM，
∴OM=$\frac{4}{5}$t+7-t=7-$\frac{1}{5}$t，
∴當$\frac{OM}{QM}$=$\frac{DC}{DA}$時，△OMQ∽△CDA，
此時，$\frac{7-\frac{1}{5}t}{\frac{3}{5}t+3}$=$\frac{4}{3}$，解得t=3；
當$\frac{OM}{QM}$=$\frac{DA}{DC}$時，△OMQ∽△ADC，
此時，$\frac{7-\frac{1}{5}t}{\frac{3}{5}t+3}$=$\frac{3}{4}$，解得t=$\frac{93}{13}$＞7，（舍去）
綜上所述，當△QMO與△ACD相似時，t的值為3秒．

點評 本題屬于相似形綜合題，主要考查了矩形的性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質、三角形面積的計算等知識的綜合應用；解題時注意：需要作輔助線構造相似三角形以及進行分類討論，由相似三角形得出比例式是解題的關鍵．