Question

10．如圖，已知A、B、C是數軸上三點，點C表示的數為3，BC=2，AB=6．
（1）數軸上點A表示的數為-5，B表示的數為1；
（2）動點P、Q分別從A、C同時出發，點P以每秒2個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，點Q以每秒1個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，M為AP的中點，點N在線段CQ上，且CN=$\frac{2}{3}$CQ，設運動時間t（t＞0）秒．
   ①求數軸上M、N表示的數（用含t的式子表示）；
   ②t為何值時，原點O恰好是線段PQ的中點．

Answer 1

分析 （1）根據點C所表示的數，以及BC、AB的長度，即可寫出點A、B表示的數；
（2）①根據題意畫出圖形，表示出AP=6t，CQ=3t，再根據線段的中點定義可得AM=3t，根據線段之間的和差關系進而可得到點M表示的數；根據CN=$\frac{2}{3}$CQ可得CN=t，根據線段的和差關系可得到點N表示的數；
②此題有兩種情況：當點P在點O的左側，點Q在點O的右側時；當P在點O的右側，點Q在點O的左側時，分別畫出圖形進行計算即可．

解答 解：（1）∵C表示的數為3，BC=2，
∴OB=3-2=1，
∴B點表示1．
∵AB=6，
∴AO=6-1=5，
∴A點表示-5．
故答案為：-5，1；

（2）①由題意得：AP=2t，CQ=t，如圖1所示：
∵M為AP中點，
∴AM=$\frac{1}{2}$AP=t，
∴在數軸上點M表示的數是-5+t，
∵點N在CQ上，CN=$\frac{2}{3}$CQ，
∴CN=$\frac{2}{3}$t，
∴在數軸上點N表示的數是3-$\frac{2}{3}$t；

②由題意得，AP=2t，CQ=t，分兩種情況：
i）如圖2所示：當點P在點O的左側，點Q在點O的右側時，OP=5-2t，OQ=3-t，
∵O為PQ的中點，
∴OP=OQ，
∴5-2t=3-t，
解得：t=2．
當t=2秒時，O為PQ的中點；
ii）如圖3所示：當P在點O的右側，點Q在點O的左側時，OP=2t-5，OQ=t-3，
∵O為PQ的中點，
∴OP=OQ，
∴2t-5=t-3，
解得：t=2，
此時AP=4＜5，
∴t=2不合題意舍去．
綜上所述：當t=2秒時，O為PQ的中點．

點評 此題主要考查了一元一次方程的應用、數軸，以及線段的計算，解決問題的關鍵是根據題意正確畫出圖形，要考慮全面各種情況，不要漏解．