Question

6．如圖，正方形紙片ABCD的邊長為1，M、N分別是AD、BC邊上的點，且AB∥MN，將紙片的一角沿過點B的直線折疊，使A落在MN上，落點記為A′，折痕交AD于點E，若M是AD邊上距D點最近的n等分點（n≥2，且n為整數），則A′N=$\frac{\sqrt{2n-1}}{n}$．

Answer 1

分析 根據翻折變換的性質可得A′B=AB，再根據點M的位置求出BN，然后利用勾股定理列式計算即可得解．

解答 解：∵將紙片的一角沿過點B的直線折疊，A落在MN上，落點記為A′，
∴A′B=AB=1，
∵AB∥MN，M是AD邊上距D點最近的n等分點，
∴MD=NC=$\frac{1}{n}$，
∴BN=BC-NC=1-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-1}{n}$，
在Rt△A′BN中，根據勾股定理得，A′N²=A′B²-BN²=1²-（$\frac{n-1}{n}$）²=$\frac{2n-1}{{n}^{2}}$，
所以，A′N=$\sqrt{\frac{2n-1}{{n}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2n-1}}{n}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2n-1}}{n}$．

點評 本題考查了翻折變換的性質，正方形的性質，勾股定理，主要利用了翻折前后對應邊相等．