Question

4．由圓弧形彎道$\widehat{AB}$和兩段直道AM、BN組成的一條公路示意圖如圖所示，直線AM、BN分別與$\widehat{AB}$所在的⊙O相切于點A、B．已知⊙O的半徑為90m，$\widehat{AB}$的長為60πm，求直線AM與BN所成的銳角的度數，以及AM，BN的交點到⊙O的切線長．

Answer 1

分析 作輔助線，由弧長公式求出圓心角為120°，即∠AOB=120°，根據切線的性質得：OA⊥MA，OB⊥BN，則∠CAO=∠CBO=90°，由四邊形的內角和為360°求出∠ACB=180°-120°=60°，根據直角三角形30°的三角函數求出結論．

解答 解：連接OA、OB，
延長MA、NB交于C，
由弧長公式得：60π=$\frac{∠AOB•90π}{180}$，
∴∠AOB=120°，
∵MA、NB為⊙O的切線，
∴OA⊥MA，OB⊥BN，
∴∠CAO=∠CBO=90°，
∴∠ACB=180°-120°=60°，
∴直線AM與BN所成的銳角的度數為60°，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
在Rt△AOC中，∠ACO=30°，
∴tan30°=$\frac{OA}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{90}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AC=90$\sqrt{3}$m，
則AM，BN的交點到⊙O的切線長為90$\sqrt{3}$m．

點評 本題考查了切線的性質和弧長公式、四邊形的內角和、特殊角的三角函數值，熟練掌握弧長公式和特殊角的三角函數值是本題的關鍵，本題雖然難度不大，但應用的知識點較多．