Question

16．如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于D、E兩點，BC的延長線與⊙O的切線AF交于點F，連接BD．
（1）求證：∠CAF=∠CBD；
（2）若AC=2$\sqrt{10}$，CE：EB=1：4，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）連接BD，由AB為直徑可得出BD⊥AC，結合等腰三角形的性質即可得出∠CBD=∠ABD，再由切線的性質即可得出∠FAB=∠CAF+∠CAB=90°，由同角的余角相等即可證出∠CAF=∠CBD；
（2）連接AE，設CE=a，則EB=4a，BA=BC=5a，由AB為直徑可得出∠AEB=90°，利用勾股定理即可得出AE=3a，結合∠B=∠B即可證出△AEB∽△FAB，根據相似三角形的性質即可得出AF=$\frac{12}{5}$a，在Rt△AEC中，利用勾股定理即可求出a值，將其代入AF=$\frac{12}{5}$a中即可得出結論．

解答 （1）證明：連接BD，如圖1所示．
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC．
∵BA=BC，
∴AD=CD，∠CBD=∠ABD．
∵AF與⊙O相切，
∴∠FAB=∠CAF+∠CAB=90°．
又∵∠CAB+∠ABD=90°，
∴∠CAF=∠ABD=∠CBD．
（2）解：連接AE，如圖2所示．
設CE=a，則EB=4a，BA=BC=5a．
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-E{B}^{2}}$=3a．
∵∠B=∠B，∠AEB=∠FAB=90°，
∴△AEB∽△FAB，
∴$\frac{FA}{AE}=\frac{EB}{AB}$，
∴FA=$\frac{AE•EB}{AB}$=$\frac{12}{5}$a．
在Rt△AEC中，AE=3a，CE=a，AC=2$\sqrt{10}$，
∴AE²+CE²=AC²，即9a²+a²=40，
解得：a=2或a=-2（舍去），
∴AF=$\frac{12}{5}$a=$\frac{24}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、切線的性質以及勾股定理，解題的關鍵是：（1）根據同角的余角相等找出∠CAF=∠ABD；（2）根據相似三角形的性質找出AF=$\frac{12}{5}$CE．