Question

14．已知∠AOD=α，射線OB、OC在∠AOD的內部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）如圖1，當射線OB與OC重合時，求∠MON的大��；
（2）在（1）的條件下，若射線OC繞點O逆時針旋轉一定角度θ，如圖2，求∠MON的大��；
（3）在（2）的條件下，射線OC繞點O繼續逆時針旋轉，旋轉到與射線OA的反向延長線重合為止，在這一旋轉過程中，∠MON=$\frac{1}{2}$（θ-α）．

Answer 1

分析 （1）根據角平分線的定義求出∠BOM和∠BON，然后根據∠MON=∠BOM+∠BON代入數據進行計算即可得解；
（2）根據角平分線的定義求出∠COM和∠BON，然后根據∠MON=∠COM+∠BON-∠BOC代入數據進行計算即可得解；
（3）根據角平分線的定義求出∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=90°，∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD，根據∠AOD-∠BOD+BOC=180°求得∠BOD=α+θ-180°，然后根據∠MON=90°-α+$\frac{1}{2}$∠BOD，代入數據進行計算即可得解．

解答 解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠MON=∠COM+∠BON-∠BOC=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOD），
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=α，
∴∠MON=$\frac{1}{2}$α；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠MON=∠COM+∠BON-∠BOC=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOD）-∠BOC，
∵∠AOD=∠AOC+∠BOD-∠BOC=α，
∴∠AOC+∠BOD=α+θ，
∴∠MON=$\frac{1}{2}$（α+θ）-θ=$\frac{1}{2}$（α-θ）；
（3）如圖3，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=90°，∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠MON=90°-α+$\frac{1}{2}$∠BOD，
∵∠AOD-∠BOD+BOC=180°，
∴∠BOD=α+θ-180°，
∴∠MON=90°-α+$\frac{1}{2}$∠BOD=90°-α+$\frac{1}{2}$（α+θ-180°）=$\frac{1}{2}$（θ-α）．
故答案為$\frac{1}{2}$（θ-α）．

點評 本題考查了角的計算，角平分線的定義，準確識圖是解題的關鍵，難點在于要注意整體思想的利用．