Question

11．己知關于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0．
（1）若這個方程有實數解，求k的取值范圍；
（2）若這個方程的解是直線y=3x+1與x軸的交點的橫坐標．是否存在k使反比例函數y=$\frac{3k+2}{3x}$的圖象在第2、4象限？如果存在求出k，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據判別式的意義得出△=[-2（k-3）]²-4×1×（k²-4k-1）≥0，解不等式即可；
（2）先求出直線y=3x+1與x軸的交點坐標為-$\frac{1}{3}$，再代入一元二次方程得出關于k的方程，解方程求出k的值，然后代入反比例函數檢驗即可．

解答 解：（1）根據題意得：△=[-2（k-3）]²-4×1×（k²-4k-1）≥0，
整理得：-2k+10≥0，
解得：k≤5．
即若這個方程有實數解，k的取值范圍為k≤5；
（2）存在；理由如下：
∵直線y=3x+1，當y=0時，3x+1=0，
解得：x=-$\frac{1}{3}$，
∴直線y=3x+1與x軸的交點坐標為-$\frac{1}{3}$，
∴（-$\frac{1}{3}$^）2-2（k-3）×（-$\frac{1}{3}$）+k²-4k-1=0．
整理得：9k²-30k-26=0，
解得：k=$\frac{5+\sqrt{51}}{3}$，或k=$\frac{5-\sqrt{51}}{3}$，
當k=$\frac{5+\sqrt{51}}{3}$時，3k+2=3×$\frac{5+\sqrt{51}}{3}$+2=7+$\sqrt{51}$＞0，
此時不符合題意；
當k=$\frac{5-\sqrt{51}}{3}$時，3k+2=3×$\frac{5-\sqrt{51}}{3}$+2=7-$\sqrt{51}$＜0，
此時符合題意；
∴當k=$\frac{5-\sqrt{51}}{3}$時，反比例函數y=$\frac{3k+2}{3x}$的圖象在第2、4象限．

點評 此題主要考查了一元二次方程跟的判別式、一次函數圖象上點的坐標特征、反比例函數的性質；熟練掌握一元二次方程跟的判別式，求出直線與x軸的交點橫坐標得出關于k的方程是解決問題（2）的關鍵．