Question

7．如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），點(diǎn)C為拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，拋物線的對稱軸EF交x軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F．
（1）求點(diǎn)A、B 的坐標(biāo)和直線AC的解析式；
（2）若G是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠AGC=90°時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）在直線EF上是否存在點(diǎn)P，使⊙P與直線AC和y軸都相切，若存在，求出圓心P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把y=0代入拋物線y=x²-2x-3可求得點(diǎn)A、B 的坐標(biāo)，把x=2代入拋物線中可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式；
（2）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角畫出∠AGC=90°，確定點(diǎn)G的位置，有兩個(gè)符合條件的G點(diǎn)，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，先根據(jù)坐標(biāo)特點(diǎn)及中點(diǎn)定義得出D的坐標(biāo)，計(jì)算AC的長，則半徑為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，根據(jù)勾股定理計(jì)算G₁H的長，利用坐標(biāo)證明△AOM和△DMH是等腰直角三角形，從而得出點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）存在兩個(gè)P點(diǎn)，根據(jù)切線長定理可知，①∠OMC的平分線與EF的交點(diǎn)為P，②∠GMC的平分線與EF的交點(diǎn)為P；作輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)拋物線的對稱軸為x=1可知，P的橫坐標(biāo)為1，分別根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)求縱坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0，
x₁=3，x₂=-1，
∵A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，
∴A（-1，0），B（3，0），
當(dāng)x=2時(shí)，y=x²-2x-3=-3，
∴C（2，-3），
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
把A（-1，0），C（2，-3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為：y=-x-1；
（2）取AC的中點(diǎn)D，以D為圓心，以AD為半徑作圓交y軸于G₁、G₂，
連接DG₁，DG₂，過D作DH⊥y軸于H，
此時(shí)∠AG₁C=∠AG₂C=90°，
∵A（-1，0），C（2，-3），
∴D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），AC=$\sqrt{（2+1）^{2}+（0+3）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴AD=DG₁=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∵DH=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：G₁H=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，
設(shè)直線AC交y軸于M，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，
∴OM=1，
∵OA=1，
∴OA=OM，
∴△AOM是等腰直角三角形，
∴∠AMO=∠DMH=45°，
∴△DMH是等腰直角三角形，
∴DH=HM=$\frac{1}{2}$，
∴OG₁=G₁H-OH=$\frac{\sqrt{19}}{2}$-1-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{19}-3}{2}$，
OG₂=$\frac{\sqrt{19}}{2}$+1+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{19}+3}{2}$，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)是（0，$\frac{\sqrt{19}-3}{2}$）或（0，-$\frac{\sqrt{19}+3}{2}$）；
（3）存在，
如圖2，⊙P與y軸、AC都相切，切點(diǎn)分別為G、H，連接PG、PH，則PG⊥y軸，PH⊥AC，過H作NQ⊥y軸，則NQ⊥EF
∴△NMH是等腰直角三角形，
∵∠MHP=90°，
∴∠PHQ=45°，
∴△PHQ是等腰直角三角形，
∵PG=PH=1，
∴PQ=HQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴HN=NM=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵GN=PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴GM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\sqrt{2}$-1，
∴OG=1-（$\sqrt{2}$-1）=2-$\sqrt{2}$，
∴P（1，$\sqrt{2}$-2）；
如圖3，切點(diǎn)為G、H，連接PG、PH，則PG⊥y軸，PH⊥AC，
過H作NQ∥y軸，交GP的延長線于N，過M作MQ⊥y軸，則四邊形MGNQ是矩形，
∵PG=PH=1，∠GMH=45°，
連接PM，則PM平分∠GMH，
∴∠GMP=∠PMH=22.5°，
∴∠HMQ=45°，
∴△MQH是等腰直角三角形，
∵∠GPM=∠MPH=67.5°，
∴∠NPH=45°，
∴△PNH是等腰直角三角形，
∴PN=NC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴MQ=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴MG=QN=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$+1，
∴OG=OM+MG=1+$\sqrt{2}$+1=2+$\sqrt{2}$，
∴P（1，-2-$\sqrt{2}$），
綜上所述，圓心P的坐標(biāo)是（1，$\sqrt{2}$-2）或（1，-2-$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)與圓的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、拋物線與x軸的交點(diǎn)、圓周角定理、切線長定理等知識，有難度，注意2、3問要分類討論，不要丟解，熟練掌握：①直徑所對的圓周角是直角；②從圓外一點(diǎn)引圓的切線，切線長相等，它與圓心的連線平分切線所在的夾角；本題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)G和P的位置．