Question

17．如圖，∠ABC和∠BCD的平分線交于E，BE交CD于點F，∠1+∠2=90°．
（1）求證：AB∥CD；
（2）過點C作一條射線CG與∠CEF的平分線交于點G，若∠ECF=3∠FCG，∠2=2∠1，求∠CGE的度數．

Answer 1

分析 （1）首先根據角平分線定義可得∠ABE=∠CBE，∠1=∠ECF，然后可得∠ECF+∠2=90°，再證明∠ABF=∠2，進而可證明AB∥CD；
（2）首先計算出∠2和∠ECF的度數，進而可得∠ECG的度數，然后再計算出∠CEG的度數，再利用三角形內角和定理可得答案．

解答 （1）證明：∵∠ABC和∠BCD的平分線交于E，
∴∠ABE=∠CBE，∠1=∠ECF，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ECF+∠2=90°，
∴∠CEB=∠CEF=90°，
∴∠1+∠EBC=90°，
∴∠2=∠CBE，
∴∠ABE=∠2，
∴AB∥CF；

（2）解：∵∠2=2∠1，∠1+∠2=90°，
∴∠2=60°，∠1=30°，
∵∠1=∠ECF，
∴∠ECF=30°，
∵∠ECF=3∠FCG，
∴∠ECG=20°，∠GCF=10°，
∵∠CEF=90°，EG平分∠CEF，
∴∠CEG=45°，
∴∠CGE=180°-20°-45°=115°．
同理可得：∠FCG′=10°，
則∠ECG′=40°，故∠CG′E=180°-40°-45°=95°，
故∠CGE的度數為95°或115°．

點評 此題主要考查了平行線的判定以及角的計算，關鍵是掌握內錯角相等，兩直線平行．