Question

1．已知AB是⊙O的直徑，P為AB延長線上的任意一點，過點P作⊙O的切線，切點為C，∠APC的平分線PD與AC交于點D．
（1）如圖①，若∠CPA恰好等于30°，求∠CDP的度數；
（2）如圖②，若∠CPA不等于30°時，①中的結論是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質得出∠OCP=90°，進而利用∠CPA=30°，得出∠COP的度數，進而結合角平分線的性質得出∠APD，再利用∠CDP=∠A+∠APD求出答案；
（2）利用切線的性質得出∠OCP=90°，結合角平分線的性質得出∠APC=2∠APD，結合∠COP=2∠A，得出2（∠A+∠APD）=90°，進而求出答案．

解答 解：（1）如圖①，連接OC，
∵直線PC是⊙O的切線，
∴OC⊥PC，則∠OCP=90°，
∵∠CPA=30°，
∴∠COP=90°-30°=60°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，
∵PD平分∠APC，
∴∠APD=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∴∠CDP=∠A+∠APD=30°+15°=45°，
即∠CDP的度數為：45°；

（2）∠CDP的大小不發生變化，
理由：如圖②，連接CO，
∵PC是⊙O的切線，
∴∠OCP=90°，
∵PD是∠CPA的平分線，
∴∠APC=2∠APD，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COP=2∠A，
∴∠COP+∠APC=90°，即2（∠A+∠APD）=90°，
∴∠CDP=∠A+∠APD=45°，
故∠CDP的大小不發生變化．

點評 此題主要考查了切線的性質以及角平分線的性質，正確得出2（∠A+∠APD）=90°是解題關鍵．