Question

10．已知關于x的方程x²+2（a-1）x+a²-7a-4=0的兩根為x₁，x₂，且滿足（2x₁-3）（2x₂-3）=29，則a的值為6．

Answer 1

分析 先根據根與系數的關系得到x₁+x₂=-2（a-1），x₁•x₂=a²-7a-4，再把它們代入已知條件后整理得到得a²-4a-12=0，解得a₁=6，a₂=-2，然后分別把a的值代入原方程，根據判別式的意義確定a的值．

解答 解：根據題意得x₁+x₂=-2（a-1），x₁•x₂=a²-7a-4，
∵（2x₁-3）（2x₂-3）=29，即2x₁x₂-3（x₁+x₂）-10=0，
∴2（a²-7a-4）+6（a-1）-10=0，
整理得a²-4a-12=0，解得a₁=6，a₂=-2，
當a=6時，原方程變形為x²+10x-10=0，△＞0，方程有兩個不等的實數根；
當a=-2時，原方程變形為x²-6x+14=0，△＜0，方程沒有實數根；
∴a的值為6．
故答案為6．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程根的判別式．