Question

12．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c過點A（4，0），B（-4，-4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是線段AB上的一個動點（不與A、B重合），過P作y軸的平行線，分別交拋物線及x軸于C、D兩點．請問是否存在這樣的點P，使PD=2CD？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法把問題轉化為方程組解決．
（2）設P（m，$\frac{1}{2}$m-2），其中-4＜m＜4，則C（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2），PD=2-$\frac{1}{2}$m，CD=|-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2|，分兩種情形①當點C在x軸上方時，CD=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2，由PD=2CD，得2-$\frac{1}{2}$m=2（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2），②當點C在x軸下方時，CD=$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m-2，由PD=2CD，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）由題意$\left\{\begin{array}{l}{-4+4b+c=0}\\{-4-4b+c=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2．

（2）∵A（4，0），B（-4，-4），
∴直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，
設P（m，$\frac{1}{2}$m-2），其中-4＜m＜4，則C（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2），PD=2-$\frac{1}{2}$m，CD=|-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2|，
①當點C在x軸上方時，CD=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2，由PD=2CD，
得2-$\frac{1}{2}$m=2（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2），解得m=-1或4（舍棄），
∴P（-1，-$\frac{5}{2}$）．
②當點C在x軸下方時，CD=$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m-2，由PD=2CD，得2-$\frac{1}{2}$m=2（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m-2），解得m=-3或4（舍棄），
∴P（-3，-$\frac{7}{2}$），
綜上所述，點P的坐標為（-1，-$\frac{5}{2}$）或（-3，-$\frac{7}{2}$）．

點評 本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象等知識，解題的關鍵是學會用方程的思想轉化問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．