Question

9．如圖，要建造一個直角梯形的花圃，要求AD邊靠墻，CD⊥AD，AB：CD=5：4，另外三邊的和為20米，設AB的長為5x米
（1）求出AD的長；（用含字母x的式子表示）
（2）若該花圃的面積為50平方米，且周長不大于30米，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）作BE⊥AD于E，就可以得出BE=CD，在Rt△ABE中由勾股定理就可以求出AE，由BC=DE就可以表示出AD而得出結(jié)論；
（2）由（1）的結(jié)論根據(jù)梯形的面積公式求出x的值，建立不等式求出x的取值范圍就可以得出結(jié)論．

解答 解：（1）作BE⊥AD于E，
∴∠AEB=∠DEB=90°．
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=90°．
∵BC∥AD，
∴∠EBC=90°，
∴四邊形BCDE是矩形，
∴BE=CD，BC=DE．
∵AB：CD=5：4，AB的長為5x米，
∴CD=4x米，
∴BE=4x，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AE=3x．
∵BC=20-5x-4x=20-9x，
∴DE=20-9x，
∴AD=20-9x+3x=20-6x；

（2）∵AB+BC+CD+DA≤30，
∴5x+20-9x+4x+20-6x≤30，
∴x≥$\frac{5}{3}$，
又∵$\frac{1}{2}$（AD+BC） CD=50，即$\frac{1}{2}$（20-9x+20-6x）•4x=50，
即3x²-8x+5=0，解之得：x₁=1，x₂=$\frac{5}{3}$，
∵x≥$\frac{5}{3}$，故只取x=$\frac{5}{3}$，
∵AB=5x，
∴AB=$\frac{25}{3}$，
∴AB的長為$\frac{25}{3}$米．

點評 本題考查了勾股定理的運用，梯形的面積公式的運用，梯形的周長公式的運用，一元二次方程的解法的運用，一元一次不等式的運用，解答時根據(jù)條件建立方程及不等式是關鍵．