Question

17．如圖，已知△ABC的角平分線CD交AB于D點，過點B作BE∥CD交AC的延長線于點E．
（1）求證：△BCE是等腰三角形；
（2）若AD=$\sqrt{3}$，BD=$\sqrt{2}$，求$\frac{AC}{CB}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據CD平分∠ACB，可知∠ACD=∠BCD；由BE∥CD，可求出△BCE是等腰三角形，CB=CE即可；
（2）根據平行線分線段成比例定理以及BC=CE，即可得出結果．

解答 （1）證明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD．
又∵BE∥CD，
∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD．
∵∠ACD=∠BCD，
∴∠CBE=∠CEB．
∴CB=CE，即△BCE是等腰三角形．
（2）解：∵BE∥CD，
根據平行線分線段成比例定理得：$\frac{AC}{CE}=\frac{AD}{BD}$，
∵CB=CE，
∴$\frac{AC}{CB}=\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題主要考查了平行線分線段成比例定理、等腰三角形的判定和角平分線定理的證明；熟練掌握平行線分線段成比例定理，證明三角形是等腰三角形是解決問題的關鍵．