Question

11．以Rt△ABC的直角頂點C為圓心，作一圓切斜邊AB于點T，過點A、B分別作⊙C的切線，E，D為切點，
（1）求證：BD+AE=AB；
（2）求證：BD∥AE；
（3）若梯形ABDE的面積是48，設CA=x，CB=y，且x+y=14，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）利用切線長定理得出AE=AT，BD=BT，代換即可得出結論；
（2）利用切線的性質得出結論即可判斷出Rt△AEC≌Rt△ATC，得出∠ACE=∠ACT，同理得出∠BCD=∠BCT，即可判斷出E，C、D三點共線，最后利用垂直于同一條直線的兩條直線平行即可得出結論；
（3）借助（2）得出的結論，即可判斷出梯形ABDE的面積是直角三角形ABC面積的二倍建立x，y的方程，再利用勾股定理即可得出結論．

解答 （1）證明：∵AE，AB是⊙C的切線，
∴AE=AT，
∵BD，AB是⊙C的切線，
∴BD=BT，
∴BD+AE=BT+AT=AB；
（2）證明：∵AE，AB是⊙C的切線，
∴AE=AT，∠AEC=∠ATC=90°，
在Rt△AEC和Rt△ATC中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{AE=AT}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEC≌Rt△ATC，
∴∠ACE=∠ACT，
同理：Rt△BCD≌Rt△BCT，
∴∠BCD=∠BCT，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACT+∠BCT=90°，
∴∠ECD=∠ACE+∠ACT+∠BCT+∠BCD=2（∠ACT+∠BCT）=180°，
∴點E，C，D在同一條直線上，
∵AE⊥CE，BD⊥CD，
∴BD∥AE（垂直于同一條直線的兩條直線平行）；
（3）解：由（2）知，Rt△AEC≌Rt△ATC，Rt△BCD≌Rt△BCT，
∴S_梯形ABDE=S_Rt△AEC+S_Rt△ATC+S_Rt△BCD+S_Rt△BCT
=2（S_Rt△ATC+S_Rt△BCT）
=2S_Rt△ABC
=2×$\frac{1}{2}$AC•CB=AC•CB，
∵梯形ABDE的面積是48，設CA=x，CB=y，
∴xy=48，
∵x+y=14，
在Rt△ABC中，根據勾股定理得，AB²=AC²+BC²=x²+y²=（x+y）²-2xy=14²-2×48=100，
∴AB=10．
即：AB的長為10．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質，全等三角形的判定和性質，三點共線，勾股定理等知識點；（2）中判斷出E，C，D三點共線和（3）中整體把x+y=14和xy=48代入是解答關鍵．