Question

4．如圖，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點B落在OA邊上的點E處．
（1）求AD的長；
（2）一動點P從點E出發，沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動，同時動點Q從點C出發，沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動，當點P運動到點C時，兩點同時停止運動．設運動時間為t秒，當t為何值時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似？

Answer 1

分析 （1）先設AD=x，則DB=DE=8-x，在Rt△ADE中，根據勾股定理可得AD²+AE²=DE²，據此列出方程x²+4²=（8-x）²，求得x=3，進而得到AD=3；
（2）分兩種情況進行討論：①當∠PQC=∠DAE=90°時，△ADE∽△QPC，②當∠QPC=∠DAE=90°時，△ADE∽△PQC，分別根據相似三角形的性質，得出關于t的方程，求得t的值．

解答 解：（1）由折疊可得，CE=CB=AO=10，而CO=AB=8，
∴OE=6，
∴AE=10-6=4，
設AD=x，則DB=DE=8-x，
Rt△ADE中，AD²+AE²=DE²，
∴x²+4²=（8-x）²，
解得x=3，
∴AD=3；

（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得，AD=3，AE=4，DE=5，
∵CQ=t，EP=2t，
∴PC=10-2t，
①當∠PQC=∠DAE=90°時，△ADE∽△QPC，
∴$\frac{CQ}{EA}$=$\frac{CP}{ED}$，即$\frac{t}{4}$=$\frac{10-2t}{5}$，
解得t=$\frac{40}{13}$；
②當∠QPC=∠DAE=90°時，△ADE∽△PQC，
∴$\frac{PC}{AE}$=$\frac{CQ}{ED}$，即$\frac{10-2t}{4}$=$\frac{t}{5}$，
解得t=$\frac{25}{7}$，
綜上所述，當t=$\frac{40}{13}$或$\frac{25}{7}$時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質的綜合應用，解題時注意：折疊的性質疊種對稱變換，屬于對稱，折疊前后圖形的形和小不變，位變化，對邊和對應角相等．解題時注意分類思想的運用．