Question

12．在平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A、C的坐標分別是（0，4）、（-1，0），將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°，得到平行四邊形A′B′OC′．
（1）若拋物線經過點C、A、A′，求此拋物線的解析式；
（2）點M時第一象限內拋物線上的一動點，問：當點M在何處時，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時M的坐標；
（3）若P為拋物線上一動點，N為x軸上的一動點，點Q坐標為（1，0），當P、N、B、Q構成平行四邊形時，求點P的坐標，當這個平行四邊形為矩形時，求點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）先確定C，A，A′三點坐標，利用待定系數法，轉化為解方程組即可．
（2）如圖2中，連接AA′，設直線AA′的函數解析式為y=kx+b，設M（x，-x²+3x+4），作MN∥y軸交AA′于N，則N（m，-m+4），構建二次函數后利用二次函數的性質解決問題即可．
（3）分兩種情形討論即可．①當BQ為邊時，PN∥BQ 且PN=BQ，由BQ=4，可得-x²+3x+4=±4．解方程可以得到點P的橫坐標．②當BQ為對角線時，PB∥x軸，即P₁，P₂的坐標不變；當這個平行四邊形為矩形時，點N的坐標利用圖象即可解決．

解答 解：（1）如圖1中，

∵平行四邊形ABOC繞點O順時針旋轉90°，得到平行四邊
形A′B′OC′，點A的坐標是（0，4），
∴點A′的坐標為（4，0）．
∵拋物線過點C，A，A′，設拋物線的函數解析式為
y=ax²+bx+c（a≠0）可得：
$\left\{\begin{array}{l}{a_b+c=0}\\{c=4}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的函數解析式為y=-x²+3x+4．

（2）如圖2中，連接AA′，設直線AA′的函數解析式為y=kx+b，

可得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AA′的函數解析式是y=-x+4．
設M（x，-x²+3x+4），作MN∥y軸交AA′于N，則N（m，-m+4），
S_△AMA′=$\frac{1}{2}$×4×[-x²+3x+4-（-x+4）]=-2（x-2）²+8，
∵-2＜0，
∴x=2時，△AMA′的面積最大，最大面積為8，
∴M（2，6）．

（3）如圖3中，

設P點的坐標為（x，-x²+3x+4），當P、N、B、Q構成平行四邊形時，
①當BQ為邊時，PN∥BQ 且PN=BQ，
∵BQ=4，
∴-x²+3x+4=±4．
當-x²+3x+4=4時，x=0或3，
可得P₁（0，4），P₂（3，4）；
當-x²+3x+4=-4時，x=$\frac{3±\sqrt{41}}{2}$，可得P₃（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-4），P₄（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-4）．

②當BQ為對角線時，PB∥x軸，即P₁，P₂的坐標不變；
當這個平行四邊形為矩形時，即P₁（0，4），P₂（3，4），N₁（0，0），N₂（3，0）．
綜上所述，當P₁（0，4），P₂（3，4），P₃（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-4），P₄（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-4）．時，P、N、B、Q構成平行四邊形；
當這個平行四邊形為矩形時，N₁（0，0），N₂（3，0）．

點評 本題考查二次函數綜合題、三角形面積、平行四邊形的判定和性質、矩形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會構建二次函數解決最值問題，屬于中考壓軸題．