Question

1．如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（-3，5），B（-2，1），C（-1，3）．
（1）若△ABC和△A₁B₁C₁關于原點O成中心對稱圖形，畫出圖形并寫出△A₁B₁C₁的各頂點的坐標；
（2）將△ABC繞著點O按順時針方向旋轉90°得到△A₂B₂C₂，畫出圖形，求出線段AC掃過的部分的面積．

Answer 1

分析 （1）畫出△A₁B₁C₁，并標出坐標；
（2）畫出△A₂B₂C₂，由旋轉得：△ACO≌△A₂C₂O，所以線段AC掃過的部分的面積是$\frac{1}{4}$圓O的面積（半徑為OA）-$\frac{1}{4}$圓O的面積（半徑為OC）．

解答 解：（1）如圖所示A₁（3，-5），B₁（2，-1），C₁（1，-3），

（3）如圖$OA=\sqrt{{5^2}+{3^2}}=\sqrt{34}$，$OC=\sqrt{{3^2}+{1^2}}=\sqrt{10}$，
由旋轉得：AO=A₂O，AC=A₂C₂，OC=OC₂，
∴△ACO≌△A₂C₂O，
∴線段AC掃過部分的面積為：${S_{陰影}}=\frac{1}{4}[（\sqrt{34}{）^2}-{（\sqrt{10}）^2}]π=\frac{24}{4}π=6π$．

點評 本題考查了作圖-旋轉變換和中心對稱的性質，根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形；求線段掃過的面積時，利用數形結合的方法，注意割補法組合為圓環的面積可得結果．