Question

16．如圖，點D是線段BC的中點，分別以點B，C為圓心，BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點A，連接AB，AC，AD，點E是AD上一點（不與點A，D重合），連接BE，CE，以點E為圓心，ED長為半徑畫弧，分別交BE，CE于點F，G，若BC=6，∠EBC=45°，則圖中陰影部分的面積為$\frac{9}{2}$π．

Answer 1

分析 由垂直平分線的性質得EB=EC，根據∠EBC=∠ECB=45°，則根據三角形內角和定理計算得∠BEC=90°，在Rt△BDE中，BD=$\frac{1}{2}$BC=3，∠EBD=45°，根據等腰直角三角形的性質得到ED=BD=3，然后根據扇形的面積公式求解．

解答 解：由作圖可知，EB=EC，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∴∠BEC=90°，
在Rt△BDE中，
∵BC=6，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴ED=BD=3，∠FEG=90°，
∴陰影部分（扇形）的面積=$\frac{90π×{3}^{2}}{180}$=$\frac{9}{2}$π，
故答案為$\frac{9}{2}$π．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．也考查了等邊三角形的判定與性質、相等垂直平分線的性質以及扇形的面積公式．