Question

12．如圖1，E，F分別是正方形ABCD的邊AB，AD的中點．AB=4，且將△AEF繞點A逆時針旋轉．
（1）如圖2，當△AEF繞點A逆時針旋轉90°時，連結DF，BE，延長BE交DF于點P，求BP的長．
（2）如圖3，在△AEF繞點A逆時針旋轉過程中，直線BE，DF相交于點P，則線段BE，DF有怎樣的關系？利用圖3的位置加以證明．
（3）如圖4，當△AEF旋轉到圖4位置時，△AED與△AFB的面積關系如何？利用圖4證明．

Answer 1

分析 （1）先證△AEB≌△AFD得：∠DPE=∠DAB=90°，根據勾股定理求BE=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，利用同角的三角函數列式可求BP的長；
（2）BE=DF且BE⊥DF，同理先證明△AEB≌△AFD，所以BE=DF，∠FDA=∠ABE，根據兩個三角形中有兩組角對應相等，則第三個角也對應相等得：∠DPM=∠MAB=90°，則BP⊥DF；
（3）如圖4，因為從圖形中看，△AED與△AFB有兩對應邊分別為正方形的邊長AB和AD，只要證明對應邊上的高相等即可，作高EG和FH，證明△AEG≌△AFH可得結論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD=4，∠DAB=90°，
如圖1，∵E，F分別是正方形ABCD的邊AB，AD的中點，
∴AE=AF=2，
由旋轉得：圖2中的AE=AF=2，
在△AFD和△AEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠EAB=∠FAD=90°}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△AEB（SAS），
∴∠ADF=∠ABE，
∵∠AEB=∠DEP，
∴∠DPE=∠DAB=90°，
在Rt△AEB中，AE=2，AB=4，
由勾股定理得：BE=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
cos∠ABE=$\frac{BP}{BF}=\frac{AB}{BE}$，
∴$\frac{BP}{2+4}=\frac{4}{2\sqrt{5}}$，
BP=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$；
（2）BE=DF且BE⊥DF，
理由如下：
由旋轉得：∠EAB=∠FAD，
∵AE=AF，AB=AD，
∴△AEB≌△AFD，
∴BE=DF，∠FDA=∠ABE，
∵∠PMD=∠AMB，
∴∠DPM=∠MAB=90°，
∴BP⊥DF，即BE⊥DF；
（3）如圖4，△AED與△AFB的面積相等，理由是：
過F作FH⊥AB，交BA延長線于H，過E作EG⊥AD于G，
∵∠EAF=90°，
∴∠EAH+∠FAH=90°，
∵∠HAD=90°，
∴∠EAH+∠EAG=90°，
∴∠FAH=∠EAG，
∵AE=AF，∠EGA=∠AHF=90°，
∴△AEG≌△AFH，
∴EG=FH，
∵S_△AED=$\frac{1}{2}$AD•EG，
S_△ABF=$\frac{1}{2}$AB•FH，
∵AB=AD，
∴S_△AED=S_△AFB．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質和旋轉的性質，是常考題型，第三問的關鍵是作出輔助線，即兩個高線．